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数列前n项和的公式,可用连续数字的乘积推...

点击(76829)  发布时间:2013-05-13 09:11:57
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数列前n项和的公式,可用连续数字的乘积推...

 
 

学知识,我们都希望原理清楚,知道公式定理是怎么得来的,正如平面图形的面积公式、立体图形的体积公式,记起来又轻松又牢固。

中学数学的数列知识,讲到了十几个常用数列,可是这些数列,几乎大多都看不出,前 n 项和的公式是怎么得到的,前 n 项和的公式记起来就相当麻烦了,怎么办呢?

告诉大家,我找到规律,这些数列和,都可用连续数字的乘积推导出来,我们一起看看吧。

让我们在原料堆里面,先把这些常用数列分成几大类吧。

工具/原料

  • 1+ 2+ 3+ 4 +……+ n = n(n+1)/2

    2+ 4+ 6+ 8 +……+ 2n = n(n+1)

    1+ 3+ 5+ 7 +……+ 2n-1 = n"

    自然数、偶数、奇数的数列,都是等差数列,最简单了

  • 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 +……+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

    1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 + 4X5X6 +……+ n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4

    1+ 3+ 6+ 10 +……+ n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6

    1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4) + 1/(4X5) +……+ 1/n(n+1) = n/(n+1)

    1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5) +……+ 1/n(n+1)(n+2) = (1/2)[ 1/2 - 1/(n+1)(n+2) ]

    连续数字乘积的数列,通项式与数列和,好像有什么联系

  • 1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 +……+ n" = n(n+1)(2n+1)/6

    1X1 + 3X3 + 5X5 + 7X7 +……+ (2n-1)" = n(4n" -1)/3

    1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 +……+ n^3 = [ n(n+1)/2 ]"

    1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 +……+ (2n-1)^3 = n"(2n" -1)

    自然数、奇数,二次方、三次方的数列,公式等着我们自己推导找关系

先看看连续数字的乘积,数列和究竟怎么回事

  1.  

    1X2 + 2X3 + 3X4 +……+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

    连续两个数字乘积的数列

    通项是 n(n+1) ,前 n 项的和为什么是 n(n+1)(n+2)/3 呢?

    让我们取数列的前三项,算一算吧

    1X2 + 2X3 + 3X4

    = 1X2X3/3 + 2X3X3/3 + 3X4X3/3

    = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) ] / 3

    = [ 1X2X3 - 1X2X3 + 2X3X4 - 2X3X4 + 3X4X5 ] / 3

    = 3 X 4 X 5 / 3

    = 3 (3+1) (3+2) / 3

    哦,数列通项 n(n+1) ,前 n 项的和 n(n+1)(n+2)/3 ,原来有这样的关系

    数列各项的 n(n+1) 乘以 3 之后,就可以变成 n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1) ,原来连续两个数字的乘积,就成了两组连续三个数字乘积的差;

    当然,第一项的 1X2 ,就因为 0X1X2 = 0,不见有 (n-1)n(n+1) ;

    后面各项的 (n-1)n(n+1) ,都正好与前一项的 n(n+1)(n+2) 正负相等,相互抵消,只剩下最后一项的 n(n+1)(n+2) ;

    由于最先把数列的各项都乘了 3,最后这个 n(n+1)(n+2) 就是原先数列和的 3倍,最终结果就是 n(n+1)(n+2)/3

  2.  

    1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 +……+ n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4

    连续三个数字乘积的数列

    通项是 n(n+1)(n+2) ,前 n 项的和是 n(n+1)(n+2)(n+3)/4 ,原因也是这样吧

    1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5

    = [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-2) ] / 4

    = [ 1X2X3X4 - 1X2X3X4 + 2X3X4X5 - 2X3X4X5 + 3X4X5X6 ] / 4

    = 3 X 4 X 5 X 6 / 4

    = 3 (3+1) (3+2) (3+3) / 4

    没错,通项 n(n+1)(n+2) ,前 n 项的和 n(n+1)(n+2)(n+3)/4 ,也是这个原因

  3.  

    1+ 3+ 6+ 10 +……+ n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6

    这就是把连续两个数字乘积的数列除以 2,不用再说了

    要知道,这个数列的通项式 n(n+1)/2 ,也正是自然数列的前 n 项和的公式

    如果从上往下,物体顶上第一层 1 个,第二层摆成 1+2 ,第三层摆成 1+2+3 ,第四层摆成 1+2+3+4 ……像台阶或正四面体的形状,计算总数量时,就会用到这个公式。

    1 + 3 + 6 + 10

    = 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4)

    = [ 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 ] / 2

    = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) ] / 6

    = 4 X 5 X 6 / 6

    = 4 (4+1) (4+2) / 6

    数列通项是 n(n+1)/2 ,前 n 项的和就是 n(n+1)(n+2)/6

  4.  

    1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4) +……+ 1/n(n+1) = n/(n+1)

    连续两个数字的乘积,在数列通项中变成倒数,数列和的计算方法还是这样吗

    1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4)

    = (2-1)/(1X2) + (3-2)/(2X3) + (4-3)/(3X4)

    = 2/2 - 1/2 + 3/6 - 2/6 + 4/12 - 3/12

    = 1 -1/2 + 1/2 -1/3 + 1/3 -1/4

    = 1 -1/4

    = 3 / 4

    = 3 / (3+1)

    数列通项是 1/n(n+1) ,前 n 项的和就是 n/(n+1) ,方法也是大同小异

  5.  

    1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5) +……+ 1/n(n+1)(n+2) = [1/2 - 1/(n+1)(n+2)] /2

    在数列通项中,连续三个数字的乘积变成倒数,数列和再算一算

    1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5)

    = [ (3-1)/(1X2X3) + (4-2)/(2X3X4) + (5-3)/(3X4X5) ] / 2

    = [ 1/(1X2) - 1/(2X3) + 1/(2X3) - 1/(3X4) + 1/(3X4) - 1/(4X5) ] / 2

    = [ 1/(1X2) - 1/(4X5) ] / 2

    = [ 1/2 - 1/(3+1)(3+2) ] / 2

    数列通项是 1/n(n+1)(n+2),前 n 项的和就是 [ 1/2 - 1/(n+1)(n+2) ] / 2

回到最简单的,等差数列也这样算一算

  1.  

    自然数的数列,1+ 2+ 3+ 4 +……+ n = n(n+1)/2

    这个 n(n+1)/2,等差数列说,是最大项加最小项的和,除以2 算出平均数之后,乘以项数,就是数列前 n 项的和;

    我就觉得,这个 n(n+1)/2,并非像梯形面积 (a+b) h / 2 那样,或许这就是为了变成连续数字的乘积,让我们再取数列前四项算算吧

    1 + 2 + 3 + 4

    = [ 1X2 + 2X2 + 3X2 + 4X2 ] / 2

    = [ 1X2 + 2X(3-1) + 3X(4-2) + 4X(5-3) ] / 2

    = [ 1X2 - 1X2 + 2X3 - 2X3 + 3X4 - 3X4 + 4X5 ] / 2

    = 4 X 5 / 2

    = 4 X (4+1) / 2

    数列通项是 n ,前 n 项的和就是 n(n+1)/2

    显然,把数列各项都乘以 2,就可以把 2 变成 (n+1) 与(n-1) 的相差数,原来每一项的自然数 n,就变成 n(n +1) - (n -1)n 两组连续两个数字乘积的差;

    第一项的 1,也是由于 0X1=0,只见 n(n+1) 是 1X2,不见 (n-1)n ;

    后面各项的 n(n -1) 也都与前一项的 n(n +1) 相互抵消,只剩下最后一项的 n(n + 1) ;

    别忘记最后这个 n(n+1) ,是最先乘以 2 得到的,最终结果就是 n(n+1)/2

  2.  

    偶数的数列,2+ 4+ 6+ 8 +……+ 2n = n(n+1)

    偶数的数列就是自然数列的 2 倍,直接把 2 变成一对对相差数就行了

    1X2 + 2X2 + 3X2 + 4X2

    = 1X2 + 2X(3-1) + 3X(4-2) + 4X(5-3)

    = 4 X 5

    = 4 X (4+1)

    数列通项是 2n,前 n 项的和就是 n(n+1)  

  3.  

    奇数的数列,1+ 3+ 5+ 7 +……+ 2n-1 = n"

    奇数的数列,每一项都比偶数小 1,算起来就一样

    1 + 3 + 5 + 7

    = 1X2 -1 + 2X2 -1 + 3X2 -1 + 4X2 -1

    = 4X5 - 4X1

    = 4 X 4

    数列通项是 2n-1,前 n 项的和就是 n"  

二次方、三次方的数列,还是这样算一算

  1.  

    1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 +……+ n" = n(n+1)(2n+1)/6

    自然数二次方的数列,我们取前四项,变成连续两个数字的乘积算一算

    1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4

    = 1X(2-1) + 2X(3-1) + 3X(4-1) + 4X(5-1)

    = 1X2 -1 + 2X3 -2 + 3X4 -3 + 4X5 -4

    = 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 -1 -2 -3 -4

    = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) ] /3 -(1+ 2+ 3+ 4)

    = 4X5X6 /3 - 4X5 /2

    还原字母,算出公式

    = n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2

    = n(n + 1)[ 2(n+2) /6 - 3/6 ]

    = n(n + 1)[ 2n + 4 - 3 ]/6

    = n(n + 1)(2n + 1)/6

    通项是 n" ,前 n 项的和就是 n(n + 1)(2n + 1)/6

  2.  

    1X1 + 3X3 + 5X5 + 7X7 +……+ (2n-1)" = n(4n" -1)/3

    奇数二次方的数列,再取前三项,变成连续两个数字的乘积算一算

    1X1 + 3X3 + 5X5

    = 1 + 3X(1+2) + 5X(2+3)

    = 1 + 3 + 6 + 10 + 15

    = 1X2/2 + 2X3/2 + 3X4/2 + 4X5/2 + 5X6/2

    = 5 X 6 X 7 / 6

    还原字母,算出公式

    = (2n -1)(2n)(2n +1)/6

    = n(4n" -1)/3

    通项 (2n -1)" ,前 n 项的和 n(4n" - 1)/3 ,原来也有这样的关系

  3.  

    1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 +……+ n^3 = [ n(n+1)/2 ]"

    自然数三次方的数列,变成连续三个数字乘积的数列,应该更方便,瞧

    5 X 5 X 5

    = 5X( 5" - 1" + 1)

    = 5X(5 - 1)(5 + 1) + 5 X 1

    = 4X5X6 + 5

    数列我们就取前四项算算看吧

    1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4

    = 1 + 1X2X3 +2 + 2X3X4 +3 + 3X4X5 +4

    = 1+ 2+ 3+ 4+ 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5

    = 4X5 /2 + [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-2) ] / 4

    = 4X5 /2 + 3X4X5X6 /4

    还原字母,算出公式

    = n(n + 1)/2 + (n-1)n(n+1)(n+2)/4

    = n(n + 1)[ 2/4 + (n-1)(n+2)/4 ]

    = n(n + 1)[ 2 + n" + 2n - n - 2 ] / 4

    = n(n + 1)(n" + n) / 4

    = [ n (n + 1) / 2 ]"

    数列的通项是 n^3 ,前n项和就是 [ n(n+1)/2 ]"

    其实,

    1+ 8+ 27+ 64+ 125

    = 9+ 27+ 64+ 125

    = 36+ 64+ 125

    = 100+ 125

    = 225

    这个数列只要把前几项像这样耐心地加一遍,我们就会发现,1、9、36、100、225 这几个前n项的和,也正好是 1、3、6、10、15……n(n+1)/2 的二次方。

  4.  

    1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 +……+ (2n-1)^3 = n"(2n" -1)

    奇数三次方的数列,我们还是取前四项,变成连续三个数字的乘积算一算

    1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7

    = 1 + 2X3X4 +3 + 4X5X6 +5 + 6X7X8 +7

    = 1+ 3+ 5+ 7 + 2X3X4 + 4X5X6 + 6X7X8

    = 4X4 + 2X1X3X2X2 + 2X2X5X3X2 + 2X3X7X4X2

    = 4X4 + 4X1X2X3 + 4X2X3X(1+4) + 4X3X4X(2+5)

    = 4X4 + 4X1X2X3 + 4X1X2X3 + 4X2X3X4 + 4X2X3X4 + 4X3X4X5

    = 4X4 + [1X2X3X4]X2 + [2X3X4X(5-1)]X2 + 3X4X5X(6-2)

    = 4X4 + (2X3X4X5)X2 - 2X3X4X5 + 3X4X5X6

    = 4X4 + 2X3X4X5 + 3X4X5X6

    还原字母,算出公式

    = n" + (n-2)(n-1)n(n+1) + (n-1)n(n+1)(n+2)

    = n" + n(n" -1)[ (n - 2) + (n + 2) ]

    = n" + n(n" -1)(2n)

    = n" + n"(2n" - 2)

    = n"(2n" - 2 + 1)

    = n"(2n" - 1)

    数列的通项是 (2n-1)^3,前n项和就是 n"(2n"-1)

注意事项

  • 经过一番努力,我们找到方法,自己把公式推导出来了,我们也就都看到了,这些数列前 n 项和的公式,究竟是怎么得来的,印象一定加深了不少,这样记起来也就轻松多了,还能够记得更牢固。

  • 连续数字乘积的数列,计算前 n 项和的方法,就是使用相差数。例如 n(n+1) ,先对原来连续数字的乘积,再增加一个连续的乘数 (n+2) ,再把原来一组连续数字的乘积,变成两组乘积的差,前面一组组乘积正负值相等,相互抵消,就只剩下最后一项变的 n(n+1)(n+2) 。可是也不能忘记,最先 1X2 乘了 3 ,最终 n(n+1)(n+2) 就还得除以 3  

  • 其他的这些数列,计算前 n 项和的公式,也可以用连续数字乘积的这个方法,自己做推导。毕竟经过自己做推导,弄清楚过程和方法,知道公式是怎么得到了,那么,假如我们今后一时想不起公式,就还可以根据这个方法,自己把公式重新推导出来。


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